問1.1.6#

$ \Longrightarrow $は分かりやすいが、$ \Longleftarrow $が分かりづらい。
示したいのは$ \mathscr{A}=2^{S} $である。$ \mathscr A\subset 2^{S} $は常に成り立つ。
なので、任意の$ A\in 2^{S}(A\subset S) $に対して、A\in\mathscr{A}であることを示す。

任意の$ A\subset S $をとると、Aはその元の一点集合として表現することができ、 $$ A=\cup_{x\in A}{x} $$ と表せる。ここで仮定より$ S $は可算であるため、その部分集合である$ A $も可算。
また、仮定より任意の$ x\in S $に対して$ {x}\in\mathscr{A} $が成り立つ。
よって、$ \mathscr{A} $が$ \sigma $-加法族であるので可算個の和について閉じている。
したがって、$ A\in\mathscr A $が成り立つ。よって、$ 2^{S}\subset\mathscr{A} $