二変量正規分布の条件付き期待値と条件付き分散を式変形から導出する#

二変量正規分布の確率密度関数は、 $$ f(x_1,x_2)=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\Big{(}-\frac{1}{2(1-\rho)^2}\Big{(}\Big{(}\frac{x_{1}-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\Big{)}^{2}-2\rho\Big{(}\frac{x_{1}-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\Big{)}\Big{(}\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\Big{)}+\Big{(}\frac{x_2-\mu_2}{\sigma}\Big{)}^2 \Big{)}\Big{)}$$ である。これを$ X_1 $の方に関して平方完成して、 $$=\frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^2}}\exp\Big{(}-\frac{1}{2(1-\rho)^2}\Big{(}\Big{(}\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}-\rho\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\Big{)}^2+(1-\rho^2)\Big{(}\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\Big{)}^2\Big{)}$$ となる。これをいい感じに分けて、 $$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}\exp\Big{(}-\frac{(x_{1}-\mu_{1})^{2}}{2}\Big{)}\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\Big{(}-\frac{1}{2(1-\rho)^{2}}\Big{(}\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}-\rho\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\Big{)}^2\Big{)} $$ となり、ここで左側の部分は$ f_{X_1}(x_1) $に一致するので、これで割るとそのまま消える。そして展開すると、 $$ \frac{f(x_{1},x_{2})}{f_{X_{1}}(x_1)}=f_{X_{2}|X_{1}}(x_{2}|x_{1})\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\Big{(}-\frac{1}{2(1-\rho)^{2}}\Big{(}\Big{(}\frac{x_2-\mu_2}{\sigma_2}\Big{)}^2-2\rho\frac{(x_1-\mu_1)(x_2-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\rho^2\Big{(}\frac{x_1-\mu_1}{\sigma_1}\Big{)}^2\Big{)}\Big{)} $$ また変形すると、 $$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}} }\exp\Big{(}-\frac{1}{2(1-\rho)^{2}\sigma_{2}^{2} }\Big{(}(x_{2}-\mu_{2})^{2}-2\rho\frac{(x_{1}-\mu_{1})(x_{2}-\mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}}+\rho^{2}\frac{ (x_{1}-\mu_{1})^{2} \sigma_{2}^{2} }{ \sigma^{2}_{1} } \Big{)}\Big{)} $$ となる。そして最後に変形すると、 $$=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{2}\sqrt{1-\rho^{2}}}\exp\Big{(}-\frac{1}{2(1-\rho)^{2}\sigma_{2}^{2} }\Big{(}(x_{2}-\mu_{2})-\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(x_1-\mu_1)\Big{)}^{2}\Big{)} $$ となり、この式から、 $$ E[X_2|X_1=x_1]=\mu_2+\rho\frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x_1-\mu_1) $$ $$ V[X_2|X_1=x_1]=\sigma_{2}^{2}(1-\rho^{2}) $$ となることが分かる。