P207のサンプル$ \phi(x_{i}) $から超平面$ f(x)=0 $の距離はどうして$ \frac{|\omega^{\top}\phi(x_{i})+b|}{||\omega||} $　になるのか？#

ある点$ \phi(x_{i}) $から超平面に下した垂線の足を$ x_{H} $、サンプル$ \phi(x_{i}) $からの超平面への距離をdとする。
この垂線ベクトル$ x_{H} $は、超平面の法線ベクトル$ \omega $(超平面に対して垂直であるベクトルのこと)と平行であるので、
単位法線ベクトル$ \frac{\omega}{||\omega||} $を用いて、 $$ \phi(x_{i})-x_{H}=\pm　d\frac{\omega}{||\omega||} \ \ (符号は平面のどちら側にいるかに拠る) $$ これを変形すると、
$$ \phi(x_{i})=x_{H}\pm d\frac{\omega}{||\omega||} $$ が成り立つ。ここで、点$ x_{H} $は超平面上の点なので、 $$ f(x_{H})=\omega^{\top}x_{H}+b=0 $$ をみたす。
試しに$ \phi(x_{i}) $を代入してみると、 $$ f(\phi(x_{i}))=\omega^{\top}\phi(x_{i})+b $$ $$ =\omega^{\top}\Big{(}x_{H}\pm d\frac{\omega}{||\omega||}\Big{)}+b $$ $$ =\omega^{\top}x_{H}\pm d\frac{\omega^{\top}\omega}{||\omega||}+b $$ $$ =\pm d\frac{||\omega||^2}{||\omega||}+\omega^{\top}x_{H}+b=\pm d||\omega||\ \ (\because f(x_{H})=\omega^{\top}x_{H}+b=0) $$ となり、これをdについて解くことで、 $$ \pm d||\omega||=f(\phi(x_{i})) $$ $$ \pm d=\frac{f(\phi(x_{i}))}{||\omega||} $$ $$ d=\frac{|f(\phi(x_{i}))|}{||\omega||}=\frac{|\omega^{\top}\phi(x_{i})+b|}{||\omega||} $$ となり、導出することが出来る。