$$ \cos(a+bi)=\cos{a}\cosh{b}-i\sin{a}\sinh{b} $$ を示す。オイラーの等式より、
$$ e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x} $$ が成り立つので、
$$ \cos(a+bi)=\frac{e^{i(a+bi)}-e^{-i(a+bi)}}{2} $$ $$ =\frac{e^{ai-b}-e^{-ai+b}}{2}=\frac{1}{2}(e^{ai-b}-e^{-ai+b}) $$ $$ =\frac{1}{2}e^{-b}(\cos{a}+i\sin{a})+\frac{1}{2}e^{b}(\cos{a}-i\sin{a}) $$ $$ \frac{e^{b}+e^{-b}}{2}\cos{a}-i\frac{e^{b}-e^{-b}}{2}\sin{a}=\cos{a}\cosh{b}-i\sin{a}\sinh{b} $$ よって、示すことが出来た。